#群論入門_中心化群と類等式編 11
Q.
#群 Gの #中心 Z(G) に関し
その #二項演算 が
#結合法則 を満たす事を示せ
A.
群の定義より
Gの二項演算は結合法則を満たす.
Z(G) 内の二項演算はGの二項演算に等しく，
Z(G)はGの部分集合だから
Z(G)内の任意の2元の二項演算は
結合法則を満たす.
Q.
#群 Gの #中心 Z(G) に関し
その #二項演算 が
#結合法則 を満たす事を示せ
A.
群の定義より
Gの二項演算は結合法則を満たす.
Z(G) 内の二項演算はGの二項演算に等しく，
Z(G)はGの部分集合だから
Z(G)内の任意の2元の二項演算は
結合法則を満たす.
October 24, 2026 at 4:38 AM
#群論入門_中心化群と類等式編 11
Q.
#群 Gの #中心 Z(G) に関し
その #二項演算 が
#結合法則 を満たす事を示せ
A.
群の定義より
Gの二項演算は結合法則を満たす.
Z(G) 内の二項演算はGの二項演算に等しく，
Z(G)はGの部分集合だから
Z(G)内の任意の2元の二項演算は
結合法則を満たす.
Q.
#群 Gの #中心 Z(G) に関し
その #二項演算 が
#結合法則 を満たす事を示せ
A.
群の定義より
Gの二項演算は結合法則を満たす.
Z(G) 内の二項演算はGの二項演算に等しく，
Z(G)はGの部分集合だから
Z(G)内の任意の2元の二項演算は
結合法則を満たす.
#群論入門_剰余群編 16
英語名称のおさらい
～と #両立 する compatible with ～
#剰余群(剰余類群) residue class group
商群 quotient group
#ジョルダン・ヘルダーの定理
Jordan–Hölder theorem
練習問題:
・「群の二項演算と両立するような同値関係を作る方法」を英語で説明せよ.
英語名称のおさらい
～と #両立 する compatible with ～
#剰余群(剰余類群) residue class group
商群 quotient group
#ジョルダン・ヘルダーの定理
Jordan–Hölder theorem
練習問題:
・「群の二項演算と両立するような同値関係を作る方法」を英語で説明せよ.
October 23, 2026 at 3:38 AM
#群論入門_剰余群編 16
英語名称のおさらい
～と #両立 する compatible with ～
#剰余群(剰余類群) residue class group
商群 quotient group
#ジョルダン・ヘルダーの定理
Jordan–Hölder theorem
練習問題:
・「群の二項演算と両立するような同値関係を作る方法」を英語で説明せよ.
英語名称のおさらい
～と #両立 する compatible with ～
#剰余群(剰余類群) residue class group
商群 quotient group
#ジョルダン・ヘルダーの定理
Jordan–Hölder theorem
練習問題:
・「群の二項演算と両立するような同値関係を作る方法」を英語で説明せよ.
#群論入門_剰余群編 1
Q.
集合 X において
元どうしの #二項演算 ・ と
元どうしの #同値関係 ～ とが
#両立 するとはどういうことか
A.
X の元 a, b, c, d について
a～b かつ
c～d ならば
これら2式を「辺々，演算し合わせ」て
a・c ～ b・d
とすることができる事を指す.
Q.
集合 X において
元どうしの #二項演算 ・ と
元どうしの #同値関係 ～ とが
#両立 するとはどういうことか
A.
X の元 a, b, c, d について
a～b かつ
c～d ならば
これら2式を「辺々，演算し合わせ」て
a・c ～ b・d
とすることができる事を指す.
October 21, 2026 at 4:08 PM
#群論入門_剰余群編 1
Q.
集合 X において
元どうしの #二項演算 ・ と
元どうしの #同値関係 ～ とが
#両立 するとはどういうことか
A.
X の元 a, b, c, d について
a～b かつ
c～d ならば
これら2式を「辺々，演算し合わせ」て
a・c ～ b・d
とすることができる事を指す.
Q.
集合 X において
元どうしの #二項演算 ・ と
元どうしの #同値関係 ～ とが
#両立 するとはどういうことか
A.
X の元 a, b, c, d について
a～b かつ
c～d ならば
これら2式を「辺々，演算し合わせ」て
a・c ～ b・d
とすることができる事を指す.
#群論入門_中心化群と類等式編 15
Q.
#群 G の #中心 Z(G) は
#二項演算 が
#交換法則 を満たす事を示せ
A.
中心の定義より
群Gの任意の元gに対し
Z(G)＝{z∈G | zg=gz (∀g∈G)} …①
Z(G)の任意の2元x, yに対し
yはGの元でもあるから，
Z(G) の定義①を適用すれば
xy＝yx が成立.
Q.
#群 G の #中心 Z(G) は
#二項演算 が
#交換法則 を満たす事を示せ
A.
中心の定義より
群Gの任意の元gに対し
Z(G)＝{z∈G | zg=gz (∀g∈G)} …①
Z(G)の任意の2元x, yに対し
yはGの元でもあるから，
Z(G) の定義①を適用すれば
xy＝yx が成立.
October 24, 2026 at 1:38 PM
#群論入門_中心化群と類等式編 15
Q.
#群 G の #中心 Z(G) は
#二項演算 が
#交換法則 を満たす事を示せ
A.
中心の定義より
群Gの任意の元gに対し
Z(G)＝{z∈G | zg=gz (∀g∈G)} …①
Z(G)の任意の2元x, yに対し
yはGの元でもあるから，
Z(G) の定義①を適用すれば
xy＝yx が成立.
Q.
#群 G の #中心 Z(G) は
#二項演算 が
#交換法則 を満たす事を示せ
A.
中心の定義より
群Gの任意の元gに対し
Z(G)＝{z∈G | zg=gz (∀g∈G)} …①
Z(G)の任意の2元x, yに対し
yはGの元でもあるから，
Z(G) の定義①を適用すれば
xy＝yx が成立.
#群論入門_剰余群編 3
#同値関係 ～ と
#二項演算 ・ が「#両立 する」:
呼び方はいろいろある.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・～と両立する(compatible with ～)
・～と適合する(respects ～)
・～のもとで well-defined である
・各 #同値類 上で不変(class invariant,類不変)である
#同値関係 ～ と
#二項演算 ・ が「#両立 する」:
呼び方はいろいろある.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・～と両立する(compatible with ～)
・～と適合する(respects ～)
・～のもとで well-defined である
・各 #同値類 上で不変(class invariant,類不変)である
October 21, 2026 at 8:38 PM
#群論入門_剰余群編 3
#同値関係 ～ と
#二項演算 ・ が「#両立 する」:
呼び方はいろいろある.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・～と両立する(compatible with ～)
・～と適合する(respects ～)
・～のもとで well-defined である
・各 #同値類 上で不変(class invariant,類不変)である
#同値関係 ～ と
#二項演算 ・ が「#両立 する」:
呼び方はいろいろある.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・～と両立する(compatible with ～)
・～と適合する(respects ～)
・～のもとで well-defined である
・各 #同値類 上で不変(class invariant,類不変)である
#群論入門_剰余群編 13
「#正規部分群 って便利だな」
と実感できる学び方は
2通りある.
1)
正規部分群を #共役変換 で定義し
#ガロア理論 での重要性や
#可解群 の意義を説く.
※#群論入門_正規部分群編 で実践済
2)
#二項演算 と #同値関係 の #両立 の要請から導入.
※前提知識が多い
「#正規部分群 って便利だな」
と実感できる学び方は
2通りある.
1)
正規部分群を #共役変換 で定義し
#ガロア理論 での重要性や
#可解群 の意義を説く.
※#群論入門_正規部分群編 で実践済
2)
#二項演算 と #同値関係 の #両立 の要請から導入.
※前提知識が多い
October 22, 2026 at 7:39 PM
#群論入門_剰余群編 13
「#正規部分群 って便利だな」
と実感できる学び方は
2通りある.
1)
正規部分群を #共役変換 で定義し
#ガロア理論 での重要性や
#可解群 の意義を説く.
※#群論入門_正規部分群編 で実践済
2)
#二項演算 と #同値関係 の #両立 の要請から導入.
※前提知識が多い
「#正規部分群 って便利だな」
と実感できる学び方は
2通りある.
1)
正規部分群を #共役変換 で定義し
#ガロア理論 での重要性や
#可解群 の意義を説く.
※#群論入門_正規部分群編 で実践済
2)
#二項演算 と #同値関係 の #両立 の要請から導入.
※前提知識が多い
#群論入門_剰余群編 10
#剰余群，剰余類群(residue class group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#剰余類 全体の成す集合G/N
別称:
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
「#群 構造を保つ #同値関係」
(#二項演算 と #両立 する同値関係)で得られる群.
・商群 (quotient group)
・因子群 (factor group)
#剰余群，剰余類群(residue class group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#剰余類 全体の成す集合G/N
別称:
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
「#群 構造を保つ #同値関係」
(#二項演算 と #両立 する同値関係)で得られる群.
・商群 (quotient group)
・因子群 (factor group)
October 22, 2026 at 12:38 PM
#群論入門_剰余群編 10
#剰余群，剰余類群(residue class group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#剰余類 全体の成す集合G/N
別称:
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
「#群 構造を保つ #同値関係」
(#二項演算 と #両立 する同値関係)で得られる群.
・商群 (quotient group)
・因子群 (factor group)
#剰余群，剰余類群(residue class group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#剰余類 全体の成す集合G/N
別称:
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
「#群 構造を保つ #同値関係」
(#二項演算 と #両立 する同値関係)で得られる群.
・商群 (quotient group)
・因子群 (factor group)
#群論入門_剰余群編 5
(1)
#群 G 内で
#二項演算「・」が定義されている時
#同値関係「～」が「・」と #両立 する.
(2)
同値関係「～」は
群 G の #正規部分群 H による
#剰余類 に属する元どうしを
#同値類 とみなしたもの.
(1)→(2)の証明は下記に掲載.
https://note.com/suugakuya_not...
.
(1)
#群 G 内で
#二項演算「・」が定義されている時
#同値関係「～」が「・」と #両立 する.
(2)
同値関係「～」は
群 G の #正規部分群 H による
#剰余類 に属する元どうしを
#同値類 とみなしたもの.
(1)→(2)の証明は下記に掲載.
https://note.com/suugakuya_not...
.
October 22, 2026 at 1:08 AM
#群論入門_剰余群編 5
(1)
#群 G 内で
#二項演算「・」が定義されている時
#同値関係「～」が「・」と #両立 する.
(2)
同値関係「～」は
群 G の #正規部分群 H による
#剰余類 に属する元どうしを
#同値類 とみなしたもの.
(1)→(2)の証明は下記に掲載.
https://note.com/suugakuya_not...
.
(1)
#群 G 内で
#二項演算「・」が定義されている時
#同値関係「～」が「・」と #両立 する.
(2)
同値関係「～」は
群 G の #正規部分群 H による
#剰余類 に属する元どうしを
#同値類 とみなしたもの.
(1)→(2)の証明は下記に掲載.
https://note.com/suugakuya_not...
.
#群論入門_剰余群編 2
Q.
「#二項演算 ・ と
#同値関係 ～ とが #両立」の定義
「a～b かつ
c～d なら
これら2式を辺々，演算し合わせて
a・c ～ b・d」
↑
よくわからない
A.
「a～bの両辺にcをかけて
a・c ～ b・c」が言えて，
さらにc～dなら
「右辺～b・d」も言える
というわけ.
Q.
「#二項演算 ・ と
#同値関係 ～ とが #両立」の定義
「a～b かつ
c～d なら
これら2式を辺々，演算し合わせて
a・c ～ b・d」
↑
よくわからない
A.
「a～bの両辺にcをかけて
a・c ～ b・c」が言えて，
さらにc～dなら
「右辺～b・d」も言える
というわけ.
October 21, 2026 at 6:39 PM
#群論入門_剰余群編 2
Q.
「#二項演算 ・ と
#同値関係 ～ とが #両立」の定義
「a～b かつ
c～d なら
これら2式を辺々，演算し合わせて
a・c ～ b・d」
↑
よくわからない
A.
「a～bの両辺にcをかけて
a・c ～ b・c」が言えて，
さらにc～dなら
「右辺～b・d」も言える
というわけ.
Q.
「#二項演算 ・ と
#同値関係 ～ とが #両立」の定義
「a～b かつ
c～d なら
これら2式を辺々，演算し合わせて
a・c ～ b・d」
↑
よくわからない
A.
「a～bの両辺にcをかけて
a・c ～ b・c」が言えて，
さらにc～dなら
「右辺～b・d」も言える
というわけ.
#群論入門_剰余群編 68
Q.
#群 G について
GG
＝{ g_1 g_2 | g_1∈G, g_2∈G }
＝G
を示せ.
A.
群の #二項演算 は #閉じている ので
G の任意の2元 g_1 g_2 について
g_1 g_2 ∈ G より
GG ⊂ G.
また G の任意の元 g_3 について
g_3 ＝ g_3 e ∈ GG より
G ⊂ GG.
ゆえに
GG＝G
Q.
#群 G について
GG
＝{ g_1 g_2 | g_1∈G, g_2∈G }
＝G
を示せ.
A.
群の #二項演算 は #閉じている ので
G の任意の2元 g_1 g_2 について
g_1 g_2 ∈ G より
GG ⊂ G.
また G の任意の元 g_3 について
g_3 ＝ g_3 e ∈ GG より
G ⊂ GG.
ゆえに
GG＝G
October 17, 2026 at 9:39 AM
#群論入門_剰余群編 68
Q.
#群 G について
GG
＝{ g_1 g_2 | g_1∈G, g_2∈G }
＝G
を示せ.
A.
群の #二項演算 は #閉じている ので
G の任意の2元 g_1 g_2 について
g_1 g_2 ∈ G より
GG ⊂ G.
また G の任意の元 g_3 について
g_3 ＝ g_3 e ∈ GG より
G ⊂ GG.
ゆえに
GG＝G
Q.
#群 G について
GG
＝{ g_1 g_2 | g_1∈G, g_2∈G }
＝G
を示せ.
A.
群の #二項演算 は #閉じている ので
G の任意の2元 g_1 g_2 について
g_1 g_2 ∈ G より
GG ⊂ G.
また G の任意の元 g_3 について
g_3 ＝ g_3 e ∈ GG より
G ⊂ GG.
ゆえに
GG＝G
#群論入門_剰余類編 41
Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群
hはHのある元とする.
hg および
gh という形の演算結果が
Gに属することを示せ
A.
HはGの部分集合なので
Hの元hはGの元でもある.
Gは群だから
G内の #二項演算(元どうしの積)は #閉じている.
よって
hg∈Gかつ
gh∈G
Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群
hはHのある元とする.
hg および
gh という形の演算結果が
Gに属することを示せ
A.
HはGの部分集合なので
Hの元hはGの元でもある.
Gは群だから
G内の #二項演算(元どうしの積)は #閉じている.
よって
hg∈Gかつ
gh∈G
October 14, 2026 at 11:38 AM
#群論入門_剰余類編 41
Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群
hはHのある元とする.
hg および
gh という形の演算結果が
Gに属することを示せ
A.
HはGの部分集合なので
Hの元hはGの元でもある.
Gは群だから
G内の #二項演算(元どうしの積)は #閉じている.
よって
hg∈Gかつ
gh∈G
Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群
hはHのある元とする.
hg および
gh という形の演算結果が
Gに属することを示せ
A.
HはGの部分集合なので
Hの元hはGの元でもある.
Gは群だから
G内の #二項演算(元どうしの積)は #閉じている.
よって
hg∈Gかつ
gh∈G
結合的で可逆な二項演算なので群というやつだな
鏡が同型射になってる
鏡が同型射になってる
こういうことを考えてた
鏡に中の世界なんてないというジョジョ第3部的な考えは置いておいてジョジョ第5部のマン・イン・ザ・ミラーみたいに捉えて欲しい
世界を圏としたときに鏡は関手になっている
鏡が1枚ならそれで終わりだけど鏡が2枚になったらどういう解釈ができるんだろう？
鏡1と鏡2は違う関手なのか、鏡1鏡2世界と鏡2鏡1世界は一致してくれるのか
鏡に中の世界なんてないというジョジョ第3部的な考えは置いておいてジョジョ第5部のマン・イン・ザ・ミラーみたいに捉えて欲しい
世界を圏としたときに鏡は関手になっている
鏡が1枚ならそれで終わりだけど鏡が2枚になったらどういう解釈ができるんだろう？
鏡1と鏡2は違う関手なのか、鏡1鏡2世界と鏡2鏡1世界は一致してくれるのか
October 12, 2026 at 1:29 PM
結合的で可逆な二項演算なので群というやつだな
鏡が同型射になってる
鏡が同型射になってる
#群論入門_正規部分群編 42
#交換子(commutator)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・数学における交換子は
「#二項演算 がどの程度
#可換 性(#交換法則)からかけ離れているか？」
を測る指標の役割を果たす.
・「交換子全体の成す集合」は #群 にならない.
かわりに，#生成 される部分群を考える.
#交換子(commutator)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・数学における交換子は
「#二項演算 がどの程度
#可換 性(#交換法則)からかけ離れているか？」
を測る指標の役割を果たす.
・「交換子全体の成す集合」は #群 にならない.
かわりに，#生成 される部分群を考える.
October 8, 2026 at 8:38 AM
#群論入門_正規部分群編 42
#交換子(commutator)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・数学における交換子は
「#二項演算 がどの程度
#可換 性(#交換法則)からかけ離れているか？」
を測る指標の役割を果たす.
・「交換子全体の成す集合」は #群 にならない.
かわりに，#生成 される部分群を考える.
#交換子(commutator)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・数学における交換子は
「#二項演算 がどの程度
#可換 性(#交換法則)からかけ離れているか？」
を測る指標の役割を果たす.
・「交換子全体の成す集合」は #群 にならない.
かわりに，#生成 される部分群を考える.
#群論入門_正規部分群編 37
交換子全体の集合が
積(#二項演算)について閉じていない件
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
引用：
「#交換子 2つ以上の積は
必ずしも交換子とは限らない.
2つの交換子の積が交換子とならない
最小 #位数 の #有限群 は，
位数 96 であることが知られている.」
交換子全体の集合が
積(#二項演算)について閉じていない件
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
引用：
「#交換子 2つ以上の積は
必ずしも交換子とは限らない.
2つの交換子の積が交換子とならない
最小 #位数 の #有限群 は，
位数 96 であることが知られている.」
October 7, 2026 at 11:38 PM
#群論入門_正規部分群編 37
交換子全体の集合が
積(#二項演算)について閉じていない件
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
引用：
「#交換子 2つ以上の積は
必ずしも交換子とは限らない.
2つの交換子の積が交換子とならない
最小 #位数 の #有限群 は，
位数 96 であることが知られている.」
交換子全体の集合が
積(#二項演算)について閉じていない件
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
引用：
「#交換子 2つ以上の積は
必ずしも交換子とは限らない.
2つの交換子の積が交換子とならない
最小 #位数 の #有限群 は，
位数 96 であることが知られている.」
#群論入門_正規部分群編 36
Q.
ある #群 Gの #交換子 全体がなす集合は
Gの #部分群 か？
A.
一般に
交換子と交換子の積は
交換子になるとは限らない.
つまり
「交換子全体がなす集合」は
群の #二項演算 について閉じていない.
よって
「交換子全体がなす集合」は
一般に群ではない.
Q.
ある #群 Gの #交換子 全体がなす集合は
Gの #部分群 か？
A.
一般に
交換子と交換子の積は
交換子になるとは限らない.
つまり
「交換子全体がなす集合」は
群の #二項演算 について閉じていない.
よって
「交換子全体がなす集合」は
一般に群ではない.
October 7, 2026 at 9:38 PM
#群論入門_正規部分群編 36
Q.
ある #群 Gの #交換子 全体がなす集合は
Gの #部分群 か？
A.
一般に
交換子と交換子の積は
交換子になるとは限らない.
つまり
「交換子全体がなす集合」は
群の #二項演算 について閉じていない.
よって
「交換子全体がなす集合」は
一般に群ではない.
Q.
ある #群 Gの #交換子 全体がなす集合は
Gの #部分群 か？
A.
一般に
交換子と交換子の積は
交換子になるとは限らない.
つまり
「交換子全体がなす集合」は
群の #二項演算 について閉じていない.
よって
「交換子全体がなす集合」は
一般に群ではない.