#代数系
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＜#代数学の参考書＞

「行列再入門　2次行列のすべて」(現代数学社1990石谷)

目次
▶1章　R-加群としての行列
はじめに
数の箱詰め
箱詰めの相等と演算
どんな法則があるか
等式についての性質
R-加群という代数系

▶2章　環としての行列
行列どうしの乗法
どんな法則があるか
続
October 25, 2026 at 7:38 AM
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＜#代数学の参考書＞

「暗号の代数理論」(1999コブリッツ)

前書きより:
『発展の初期段階にある
3つの型の #暗号，すなわち
･#隠れ単項式 系
･#組み合わせ論 的-#代数的 系
･#超楕円曲線 系
これらのどれかが
#実用 に供されるとしても，
最終的にどれになるか
見分けるには早すぎる.』
October 25, 2026 at 8:09 PM
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＜#代数学の参考書＞

「加群十話 ― 代数学入門 (すうがくぶっくす3)」
https://www.amazon.co.jp/dp/42...
・出版社: 朝倉書店
・著者: 堀田良之
・出版年: 1988年

『#代数系 の中でも
特に #環 の #研究 が #大切 であって，
通常，#数学 で
#代数的 手法と言われているものは
大抵この形態をとる.』
October 22, 2026 at 12:38 AM
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#巡回群とは 20

Q.
N乗して1になる複素数を
z(N, k)＝cos(2π・k/N)＋i sin(2π・k/N)
とおく.
集合
S ＝ { z(N, k) | k＝0,1, …, N－1 }
から #巡回群 を作れ.

A.
S上の #二項演算 として
乗法を導入した #代数系 をGとおくと，
G は z(N, 1) を #生成元 とする
#位数 Nの有限巡回群.
September 30, 2026 at 4:08 PM
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#代数系の初歩 29

このハッシュタグの復習:

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

全部思い出せますかな
September 28, 2026 at 6:39 PM
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#代数系の初歩 28

英語名称の復習

#代数的構造 algebraic structure
#代数系 algebraic system

#二項演算 binary operation
#簡約法則，簡約律 cancellation property

#マグマ magma
#亜群 groupoid
#半群 semigroup
#モノイド monoid
#準群 quasigroup, quasi-group
#擬群，ループ loop
September 28, 2026 at 5:08 PM
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＜#幾何学の参考書＞

現代数学講座16「代数幾何学」
(共立出版1957中井・永田)
https://www.kinokuniya.co.jp/f...

▶6章　一次系，代数系
函数とその因子
一次系
一次系の幾何学的表現(1)(2)
完備一次系
サイクルの特殊化
代数的に同値なサイクル，代数系
一次系によってひきおこされる双有理変換
September 28, 2026 at 11:08 AM
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#代数系の初歩 24

Q.
#準群 と
#群 を比較せよ.

A.
共通した性質:
・閉じた #二項演算 が定義されている.(マグマ)

群の場合:
・ #単位元 と #逆元 が存在し，#結合法則 を満たす.

準群の場合:
・単位元や結合法則は要請されない.
・逆元のかわりに「除法」が定義される.
September 28, 2026 at 9:09 AM
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#代数系の初歩 26

Q.
#擬群 とは.

A.
#準群 に #単位元 e の存在を課したもの.

除法と単位元の存在より，
任意の元が #逆元 を持つことになる.

#擬群(loop)
https://en.wikipedia.org/wiki/...
・別名「ループ」.
・ #結合法則 は課されない.
September 28, 2026 at 11:38 AM
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#代数系の初歩 25

#準群(Quasigroup, quasi-group)
https://en.wikipedia.org/wiki/...

・空でない #マグマ で，除法が常にできるもの.
("division" is always possible)
「逆マグマ」とも呼ぶ

・結合法則は課されない(not necessarily associative)

・単位元を持てば「ループ(#擬群)」と呼ぶ
September 28, 2026 at 10:38 AM
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#代数系の初歩 27

Q.
マグマから群まで
1つずつ条件を増やせ

A.
結合法則を最初に課す場合:
　#マグマ: 閉
　　#半群: 閉 結
#モノイド: 閉 結 単
　　　#群: 閉 結 単 逆

結合法則を最後に課す場合:
　#マグマ: 閉
　　#準群: 閉 　 　 除
　　#擬群: 閉 　 単 逆
　　　#群: 閉 結 単 逆
September 28, 2026 at 1:08 PM
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#代数系の初歩 17

Q.
マグマから
アーベル群までの5段階で
1つずつ条件を増やせ

A.
　　#マグマ: 閉
　　　#半群: 閉 結
　#モノイド: 閉 結 単
　　　　#群: 閉 結 単 逆
#アーベル群: 閉 結 単 逆 換　

閉 #二項演算 が #閉じている
結 #結合法則
単 #単位元
逆 #逆元
換 #交換法則
September 27, 2026 at 7:39 PM
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#代数系の初歩 18

Q.
#群 を
数直線上の格子点を動く
すごろくで例えると…

A.
0を含む正負すべての整数が出るような
特殊なサイコロを考える.

#単位元 を持つので
サイコロの目に0がある.
(0進む=動かない=1回休み)

#逆元 を持つので
+2進んだら
-2で戻るなど後退(バック)も可能.
September 27, 2026 at 8:39 PM
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#代数系の初歩 21

Q.
マグマに #結合法則 を課さないまま
#逆元 や #単位元 の存在を課したら
どうなるか

A.
#二項演算 が #閉じている 集合:
#マグマ
↓
マグマに「除法」演算の存在を課す:
#準群
↓
準群に単位元の存在を課す:
#擬群
↓
擬群に結合法則を課す:
#群
September 28, 2026 at 2:39 AM
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#代数系の初歩 16

Q.
マグマ
半群
モノイド
群
を順に定義

A.
集合が #内算法 を持てば
#マグマ

マグマに #結合法則 を課すと
#半群(演算が結合的なマグマ.結合マグマ)

半群に #単位元 の存在を課すと
#モノイド(単位的半群.単位的結合マグマ)

モノイドに #逆元 の存在を課すと
#群
September 27, 2026 at 6:38 PM
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#代数系の初歩 22

Q.
#準群 がもつ「除法」とは.

A.
#マグマ Ｑの任意の2元 a, b について
ax＝b をみたすxと
ya＝b をみたすyが存在する時，
Qを準群と呼ぶ.

つまり，ある1つの元aに
左または右から
何か(xやy)を作用させることで，
必ずQ内の他の元bに作り替えられる
ということ.
September 28, 2026 at 4:09 AM
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#代数系の初歩 20

Q.
#半群 を
数直線上の格子点を動く
すごろくで例えると…

A.
正の整数が全て出る
特殊なサイコロを考える.

#単位元 がないので
サイコロの目に0は無い.
(動かない=1回休み，が不可能で立ち止まれない)

#逆元 がないので
進んだのと同じ分だけ後退したりできない.
September 28, 2026 at 1:09 AM
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#代数系の初歩 23

Q.
#準群 Ｑの任意の2元a,bに対し
① ax=bなるxと
② ya=bなるyが存在.
a=bの時
①' ax＝a
②' ya＝a
この式から
「#準群 には #単位元 も存在」と言えるか?

A.
①' ②' で一般にx≠y.
さらに元aごとに①' ②' をみたすx,yは異なる。
よってＱに単位元は一般に無い。
September 28, 2026 at 5:09 AM
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#代数系の初歩 2

Q.
#代数的構造 と
#代数系 の違い
および2者の関係は

A.
代数的構造:
演算や算法で決まる
集合の「構造」のこと.

代数系:
代数的構造を持つ「集合」のこと.

様々な代数系から
それらが共通してもつ原理的な性質を抽出し
抽象化・ #公理 化したものが
代数的構造.
September 26, 2026 at 8:08 PM
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#代数系の初歩 19

Q.
#モノイド を
数直線上の格子点を動く
すごろくで例えると…

A.
0と正の全整数が出るような
特殊なサイコロを考える.

#単位元 を持つので
サイコロの目に0がある.
(0進む=動かない=1回休み)

#逆元(負の目)が無いので
進んだのと同じ分だけ後退したりできない.
September 27, 2026 at 10:08 PM
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#代数系の初歩 11

Q.
#半群，#モノイド とは.

A.
#群 の #公理 のうち
#結合法則 を満たすものが半群.
#単位元 や
#逆元 の存在は要請しない.

群の公理のうち
結合法則と，
単位元の存在を満たすものがモノイド.
逆元の存在は要請しない.
September 27, 2026 at 8:39 AM
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#代数系の初歩 10

#マグマ (数学) 英:magma
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #亜群(あぐん, groupoid)とも呼ばれる.
ただしこれとは別に，
#圏論 に「亜群」という用語があるので
混同してはならない.

・ #二項演算 が #閉じている ことを要求し
それ以外の何らの #公理 も課さない.
September 27, 2026 at 8:08 AM
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#代数系の初歩 14

#モノイド(monoid)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・単系(たんけい)とも呼ぶ.

・1つの #二項演算 と
#単位元 をもつ #代数的構造 であり，
#結合法則 を満たす.

・モノイドは
「単位元をもつ #半群」(＝「単位的半群」)
なので，#半群論 の研究対象.
September 27, 2026 at 2:08 PM
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#代数系の初歩 3

代数的構造
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #代数的構造(algebraic structure)
#ブルバキ が導入した概念.

・代数的構造の具体例は
#群
#環
#体 など.

・代数的構造を持つ集合は
#代数系(algebraic system).

・代数系を研究するのが #代数学.
September 26, 2026 at 10:08 PM
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#代数系の初歩 15

Q.
「半群」の定義が
どうしても記憶できない

A.
1.#二項演算 が #閉じている
2.#結合法則
3.#単位元
4.#逆元

#群 はこの4条件を満たすが
#半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。

群の「半分」の条件しか満たさないので
"半群" なのです…
と記憶できるかも?
September 27, 2026 at 3:39 PM