#環論の初歩
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#代数学のbot連ツイのタグ その2

▶環論
①#環論の初歩
②#環論の知識
③#加群の知識
④#GröbnerBasis

▶体論その他，抽象代数学全般
#体論の初歩(※建設中)
#代数学の知識
#代数学の参考書

▶線形代数
#たった10ツイートでわかる線形代数
September 18, 2026 at 6:08 AM
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#環論の初歩 26

Q.
#整域 Rでは
乗法について #簡約法則 が成り立つ事を示せ

A.
Rの元a,b,cに対し
ab=acかつa≠0
→ ab+ac^{-1}=ac+ac^{-1}
#環 の #分配法則 より
a(b+c^{-1})=a(c+c^{-1})
右辺=a・0=0
左辺でa≠0かつR内に #非自明な零因子 が無いので
(b+c^{-1})=0
→ b+0=c
∴b=c
August 31, 2026 at 5:32 AM
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#環論の初歩 25

#整域 (integral domain)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・整域の概念は
#整数 全体の成す #環 の一般化になっており，
整除可能性を調べるのに自然な設定を与える.

・単に #可換環 あるいは整域と言ったときには
乗法の #単位元 を持つと仮定することが多い.
August 30, 2026 at 9:33 PM
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#環論の初歩 24

Q.
#整域 とは.

A.
#非自明な零因子 を持たない #可換環 で
#零環(自明環){0}ではないものを
整域という.

整域は #環 であり，
加法だけでなく乗法も #可換 であり
#零因子 は 0 だけである.
August 30, 2026 at 2:32 PM
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#環論の初歩 23

Q.
#非自明な零因子 とは.

A.
#環 の #零因子 のうち
0でないものを
「非自明な零因子」(nontrivial zero divisor)
または
「0でない零因子」(nonzero zero divisor)
という.

非自明な零因子は0ではない元だが，
0でない他の元との積演算の結果が
0になるのである.
August 30, 2026 at 8:32 AM
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#環論の初歩 22

Q.
#非零因子 とは.

A.
#環 の元のうち
#零因子 ではないものを，
「非零因子」(non-zero-divisor)または
「#正則(regular)な元」という.
August 30, 2026 at 2:32 AM
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#環論の初歩 21

零因子
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #左零因子(left zero divisor)

・ #右零因子(right zero divisor)

・左零因子または右零因子である元は
「#零因子」(zero divisor)と呼ばれる.

・左零因子かつ右零因子である元は
「両側零因子」(two-sided zero divisor)
August 29, 2026 at 10:02 PM
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#環論の初歩 20

Q.
#零因子(ぜろいんし)とは.

A.
#環 Rに和 ＋ と積 ・ が定義されており
加法の単位元かつ乗法の #零元 が 0 とする.

Rの2元x,yに対して
①
x≠0かつxy＝0ならば
yはRの #右零因子.
②
x≠0かつyx＝0ならば
yはRの #左零因子.

①②をあわせて
Rの零因子という.
August 29, 2026 at 4:32 PM
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#環論の初歩 19

Q.
#全行列環 とは

A.
n×nの #正方行列 全体の集合がなす #環 を
n次「全行列環」
(full ring of n by n matrices)と呼びM_nで表す.
※成分には実数などの制約を課す.

#行列 の積は非可換ゆえ
M_nは #可換環 でない.

行列環(matrix ring)の例
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
.
August 29, 2026 at 10:33 AM
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#環論の初歩 18

Q.
#代数学 において
X を不定元とする時
ℤ[X]
は何を表すか

A.
#多項式環(polynomial ring)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「整数係数の多項式」
f(X) ＝ Σ{k=0→n} a_k・X^k
(a_k ∈ℤ, 0≦k≦n)
の全体の集合がなす #環.

和と積について #閉じている
#可換環 である.
August 29, 2026 at 5:03 AM
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#環論の初歩 17

Q.
アティマクの名著「可換代数入門」
とは何のことか

A.
#可換環 論と #代数幾何学 の最高の入門書
「Atiyah-MacDonald #可換代数 入門」
(共立出版)
https://www.irohabook.com/book...

・本格的に勉強したい人向け
・ #環 と #加群 の入門書

今は環の初歩をコツコツ学びましょう
August 29, 2026 at 12:02 AM
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#環論の初歩 16

Q.
#可換環 の事を
#可換代数 とも呼ぶの?

A.
朝倉書店「加群十話」冒頭に
可換環の #公理 を満たす #代数系 を
「文字通り可換代数と呼んでいる」とある.

その事に深入りできるのは
数学科上級生で
アティマクの名著「可換代数入門」
など読むレベルになってからでしょう.
August 28, 2026 at 9:03 PM
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#環論の初歩 14

Q.
#零環(ぜろかん)とは.

A.
{0} つまり
ただ1つの要素 0 のみからなる #環.

加法＋について #アーベル群 をなし，
加法の単位元(＝環の #零元 0)は0.

乗法・について #モノイド をなし，
乗法の単位元(＝環の #単位元 1)は0.

この状況を
1＝0
と書く.
August 28, 2026 at 1:02 AM
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#環論の初歩 15

#零環 (the zero ring)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・自明環 (trivial ring) とも呼ぶ.

・1つの元からなる唯一の #環. (ただし同型を除く)

・「加法の #単位元」(＝#零元) 0 と，
「乗法の単位元」1 が一致する唯一の環.

・零環は #可換環.
August 28, 2026 at 5:32 AM
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#環論の初歩 13

Q.
#非可換環 とは.

A.
非可換環
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#環 の乗法が
可換でないことを明示する場合に，
非可換環(non-commutative ring)と呼ぶ.
August 27, 2026 at 8:33 PM
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#環論の初歩 12

#可換環 (commutative ring)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・乗法が可換であるような #環

・可換環の研究は #可換環論，#可換代数学 と呼ばれる

・環Rは加法に関しアーベル群，乗法に関しモノイド. 乗法は加法に対し分配的. さらに乗法が可換律(#交換法則)を満たせばRは可換
August 27, 2026 at 2:02 PM
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#環論の初歩 11

Q.
#可換環 とは

A.
#環 の3 #公理 に加え
下記の性質を満たすものをいう.

④ 積の #交換法則
a・b ＝ b・a

なお，環は
加法については #アーベル群 なので
加法は常に交換法則を満たす.
August 27, 2026 at 8:33 AM
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#環論の初歩 10

Q.
#ガウス整数環 とは.

A.
#ガウス整数 は
実部と虚部が共に整数である複素数のこと.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

ガウス整数全体の集合がなす #環 が
ガウス整数環(ring of Gaussian integer).

ℤ[ i ] = { a＋bi | a,b∈ℤ }
と表記.
加法と乗法について #閉じている.
August 27, 2026 at 4:03 AM
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#環論の初歩 9

Q.
#有理整数環 とは.

A.
整数全体の集合ℤが
和と積についてなす #環 のこと.

#整数環 (ring of integers)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

代数的整数論では
ℤの元を #有理整数 と呼ぶ.
そのため，ℤがなす環も
単に「整数環」ではなく
「有理」整数環と呼んでいる.
August 26, 2026 at 10:32 PM
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#環論の初歩 8

#環論 (ring theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #環 を研究する学問分野が環論.

・環は加法と乗法が定義され「整数の持つ性質とよく似た性質」を満足する #代数的構造.

・環は #アーベル群 に第2の #二項演算 として，#結合法則 と #分配法則 を満たす * を導入したもの
August 26, 2026 at 4:02 PM
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#環論の初歩 7

#環 (ring)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・台集合に加法(和)と乗法(積)を備えた #代数的構造 のこと.
・最もよく知られた環の例は，整数全体の成す集合に加法と乗法を考えたもの
・環論では #可換環 と #非可換環 を分けて考える. (前者は代数的数論や代数幾何学の範疇)
August 26, 2026 at 8:04 AM
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#環論の初歩 6

Q.
#環 の3 #公理 において
環がもつ2つの演算(和＋と積・)の間の
決定的な差異とは何だろうか.

A.
積に「#逆元 の存在を要請しない」こと.

また #分配法則 において
和の結合よりも
積の結合のほうが「強く維持される」こと.

※乗法の #単位元 の有無は重要でない.
August 26, 2026 at 2:32 AM
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#環論の初歩 5

Q.
「#環 の #単位元」とは.

A.
環に定義された乗法(積演算)に
単位元が存在する場合，
「環の単位元」と呼び
1 という記号で表す.

環の3 #公理 の中で
乗法について #モノイド である事を要請すれば
環は常に「環の単位元」をもつ.
August 25, 2026 at 10:03 PM
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#環論の初歩 4

Q.
#環 の3 #公理に
積演算の #単位元 の存在を含めない場合が
実際にあるのか？

A.
下記の書籍では，環の3公理として
積について
(モノイドではなく)#半群 である事を要請し
「乗法の単位元をもつ環」を別扱いしている.

代数演習(サイエンス社)
https://www.amazon.co.jp/dp/47...
.
August 25, 2026 at 6:32 PM
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#環論の初歩 3

Q.
「#環 の3 #公理」に
「積演算の #単位元 の存在」を含めるか？

A.
積演算が
#結合法則 だけでなく
単位元の存在も満たすなら
「単位元をもつ半群」すなわち
積に関し #モノイド(単位的半群).

一方，積演算に
結合法則のみを要請すれば
積に関しモノイドではなく #半群.
August 25, 2026 at 1:01 PM